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<!DOCTYPE html>

<title>Differentialoperator</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Differentialoperator</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein Differentialoperator ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a>, die als <a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operator</a> einer Funktion eine Funktion zuordnet und die <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> nach einer oder mehreren Variablen enthält. Insbesondere verschlechtern Differentialoperatoren die <a href="Regularit%C3%A4tsklasse" class="mw-redirect" title="Regularitätsklasse">Regularität</a> der Funktion, auf die sie angewendet werden.

Der wohl wichtigste Differentialoperator ist die gewöhnliche Ableitung, d. h. die Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}">

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0af2b09deac6d66a9774e6d80d36c2bc5ff38ba2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.69ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}" loading="lazy"> (gesprochen: „d nach dx“), die einer <a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">differenzierbaren</a> Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ihre Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{\prime }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{\prime }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af4ba7eed864135ec5838c81b7692e19556580d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f^{\prime }}" loading="lazy"> zuordnet:

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=f'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9efc4f819af6ea46c150e4a43d9f57471054f27f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:25.782ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=f'}" loading="lazy"></dd></dl>

Differentialoperatoren lassen sich miteinander verknüpfen. Durch Weglassen der Funktion, auf die sie wirken, erhält man reine Operatorgleichungen.

Es gibt unterschiedliche Definitionen eines Differentialoperators, die alle Spezialfälle oder Verallgemeinerungen voneinander sind. Da die allgemeinste Formulierung entsprechend schwer verständlich ist, werden hier unterschiedliche Definitionen mit unterschiedlicher Allgemeingültigkeit gegeben. So bestehen gewöhnliche Differentialoperatoren aus der Verkettung von ganzen Ableitungen, während in partiellen Differentialoperatoren auch partielle Ableitungen auftauchen.

Soweit nicht anders angegeben, sei in diesem Artikel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8e2ebac5aaed569dacf365f3365b1cd07a1b4a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.437ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine <a href="Beschr%C3%A4nkte_Menge" title="Beschränkte Menge">beschränkte</a> und <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offene Menge</a>. Außerdem wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{k}(M)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{k}(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/743d6d78c3407abd71ff23acb89a3fc08d25e8be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.138ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C^{k}(M)}" loading="lazy"> die Menge der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">-mal stetig differenzierbaren Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b28c87bb68bdeda0931c6fa7210a19a7da47528a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.047ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> und mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(M)=C^{0}(M)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(M)=C^{0}(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b31e0f16a99fb06b280da48929df1b5bac4f326.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.22ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C(M)=C^{0}(M)}" loading="lazy"> die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet. Insbesondere steht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{\infty }(M)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{\infty }(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48b543485314a4426ee2ff956f206cfd802d68d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.925ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C^{\infty }(M)}" loading="lazy"> für den Raum der <a href="Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">glatten Funktionen</a>. Die Beschränkung, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> zwischen reellen Teilmengen abbildet, ist nicht notwendig, wird aber in diesem Artikel meist vorausgesetzt. Sind andere <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitions-</a> und Bildbereiche notwendig oder sinnvoll, so wird dies im Folgenden explizit angegeben.

Dieser Artikel beschränkt sich außerdem weitestgehend auf Differentialoperatoren, die auf den gerade erwähnten Räumen der stetig differenzierbaren Funktionen operieren. Es gibt Abschwächungen der Definitionen. So führte beispielsweise das Studium der Differentialoperatoren zur Definition der <a href="Schwache_Ableitung" title="Schwache Ableitung">schwachen Ableitung</a> und damit zu den <a href="Sobolev-Raum" title="Sobolev-Raum">Sobolev-Räumen</a>, die eine Verallgemeinerung der Räume der stetig-differenzierbaren Funktionen sind. Dies führte weiter zu dem Gedanken, lineare Differentialoperatoren mit Hilfe der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> in der <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">Operatortheorie</a> zu untersuchen. Auf diese Aspekte wird jedoch vorerst in diesem Artikel nicht weiter eingegangen. Eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators ist der <a href="Pseudo-Differentialoperator" class="mw-redirect" title="Pseudo-Differentialoperator">Pseudo-Differentialoperator</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linearer_Differentialoperator_erster_Ordnung">Linearer Differentialoperator erster Ordnung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition">Definition</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8e2ebac5aaed569dacf365f3365b1cd07a1b4a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.437ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offene Teilmenge</a>. Ein <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">linearer</a> Differentialoperator erster Ordnung ist eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Abbildung</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\colon C^{1}(M)\to C^{0}(M),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edf26f064c9c816d642a00b366e70e19d4f9a530.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.426ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D\colon C^{1}(M)\to C^{0}(M),}" loading="lazy"></dd></dl>

die durch

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)\partial _{x_{i}}u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/705ad4560bf3bb80c2ca716a402686acefc5d4aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.216ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle u\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)\partial _{x_{i}}u}" loading="lazy"></dd></dl>

dargestellt werden kann, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy"> eine <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige Funktion</a> ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>

<ul><li>Das wichtigste Beispiel eines Differentialoperators erster Ordnung ist die gewöhnliche Ableitung</li></ul>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f'.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8679d1d57c5002afdeb387fd438c819d26effcce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.037ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f'.}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Die <a href="Partielle_Ableitung" title="Partielle Ableitung">partielle Ableitung</a></li></ul>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\colon f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc5f701307609ca31caccf162f1e423caa080770.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.494ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\colon f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy">-Richtung ist ein partieller Differentialoperator erster Ordnung.</dd></dl>

<ul><li>Andere Differentialoperatoren dieser Gattung erhält man durch Multiplikation mit einer stetigen Funktion. Sei dazu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in C^{0}(M)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in C^{0}(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61ebfaab2c0b9e726c6cf6bf7aacdd983f25dc66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.174ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a\in C^{0}(M)}" loading="lazy"> eben so eine stetige Funktion, dann ist der durch</li></ul>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=a{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto af'\quad {\text{d. h.}}\quad Df(x)=a(x)f'(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06533ffc7672a2fcef6d11d9743526a2cf1fdf1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:46.93ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle D=a{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto af'\quad {\text{d. h.}}\quad Df(x)=a(x)f'(x)}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>definierte Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> ebenfalls wieder ein Differentialoperator erster Ordnung.</dd></dl>

<ul><li>Drei weitere Beispiele sind die Operatoren <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> (grad), <a href="Divergenz_eines_Vektorfeldes" title="Divergenz eines Vektorfeldes">Divergenz</a> (div) und <a href="Rotation_eines_Vektorfeldes" title="Rotation eines Vektorfeldes">Rotation</a> (rot) aus der <a href="Vektoranalysis" title="Vektoranalysis">Vektoranalysis</a>. Sie werden durch das <a href="Nabla-Operator" title="Nabla-Operator">Nabla-Symbol</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla }" loading="lazy"> bezeichnet, das im dreidimensionalen Fall in <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinaten</a> die Gestalt</li></ul>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70655dade9d6845ef6305c8c26b6dad1798a5827.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:14.039ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}.}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<ul><li>Die <a href="Wirtinger-Ableitung" class="mw-redirect" title="Wirtinger-Ableitung">Wirtinger-Ableitungen</a></li></ul>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c57c38ce9310c7cbab058ab2f4dcadee73cc16fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.428ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>und

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e54c411eb39e31bc1efe73a59a75d4ce92ebf070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.637ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>sind zwei weitere Beispiele für Differentialoperatoren. Das besondere in diesen Operatoren ist, dass man mit ihnen Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a164668ef57c523cd940fc849ea523ca927de997.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.511ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }" loading="lazy"> auf <a href="Holomorphe_Funktion" title="Holomorphe Funktion">Holomorphie</a> untersucht, gilt nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dce878cc6bb110ba1e26d2a5d49dbb84e332da67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:6.933ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0}" loading="lazy"> so ist die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> holomorph.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gewöhnlicher_Differentialoperator">Gewöhnlicher Differentialoperator</h2></div>

Gewöhnliche Differentialoperatoren treten insbesondere im Zusammenhang mit <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnlichen Differentialgleichungen</a> auf.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_2">Definition</h3></div>

Analog zur Definition des Differentialoperators erster Ordnung ist ein gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> eine Abbildung

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc66d6c8f331e9e6959e0324385bb2ed1178b435.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.461ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),}" loading="lazy"></dd></dl>

die durch

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(f)(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(x)\left({\frac {\mathrm {d} ^{i}f}{\mathrm {d} x^{i}}}(x)\right)^{\beta _{i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bded035e8dab0a8c47dd44c142d7b7d4c6ae7d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:33.673ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle D(f)(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(x)\left({\frac {\mathrm {d} ^{i}f}{\mathrm {d} x^{i}}}(x)\right)^{\beta _{i}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben ist. Hier ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> wieder eine stetige Funktion. Im Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{i}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{i}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb9156fb79206fbdefdcbece56b5bccb50ca53a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.376ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{i}=1}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> nennt man diesen Operator einen gewöhnlichen, linearen Differentialoperator.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

<ul><li>Die Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">-ter Ordnung</li></ul>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\colon f\mapsto f^{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b32d1c3846d7f4873469a2a2295b682d901d7c9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:14.162ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\colon f\mapsto f^{(k)}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>ist der einfachste Fall eines gewöhnlichen Differentialoperators. Es handelt sich um den sich aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}\equiv 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}\equiv 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d1ad1ce0279749556b465a95b1c567b5c1520da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.29ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{i}\equiv 0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i<k,\;a_{k}\equiv 1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i<k,\;a_{k}\equiv 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8aab04e2af3f5124ebea4032e7ccda6344cd3b04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.371ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i<k,\;a_{k}\equiv 1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{k}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{k}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/107cc076960bccc09d59d4ca71a4de5b21cde832.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.665ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{k}=1}" loading="lazy"> ergebenden Spezialfall.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linearer_partieller_Differentialoperator">Linearer partieller Differentialoperator</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_3">Definition</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8e2ebac5aaed569dacf365f3365b1cd07a1b4a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.437ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine offene Teilmenge. Ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> ist ein <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">linearer Operator</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc66d6c8f331e9e6959e0324385bb2ed1178b435.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.461ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),}" loading="lazy"></dd></dl>

der durch

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(f)(x):=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/142ba630457a727f7d549b2aebdc1bfe48d60486.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:29.945ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle D(f)(x):=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)}" loading="lazy"></dd></dl>

dargestellt werden kann. Wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06a4585da0160327a01afe7a1a32a8cfcf7a229e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.514ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{\alpha }}" loading="lazy"> für alle <a href="Multiindex" title="Multiindex">Multiindizes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/310828fd2296815670d220826d562bb6ba6f5f42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.225ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}" loading="lazy"> eine stetige Funktion ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_2">Beispiele</h3></div>

<ul><li>Der <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a> in kartesischen Koordinaten lautet</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f65b2bd7d9a8a8ab876195c12a9407f71bca4f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.084ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>Dies ist ein elementares Beispiel eines partiellen Differentialoperators. Außerdem ist diese das wichtigste Beispiel eines <a href="Elliptischer_Differentialoperator" class="mw-redirect" title="Elliptischer Differentialoperator">elliptischen Differentialoperators</a>. Elliptische Differentialoperatoren sind eine besondere Klasse partieller Differentialoperatoren.</dd></dl>

<ul><li>Der der Wärmeleitungs- oder <a href="Diffusionsgleichung" class="mw-redirect" title="Diffusionsgleichung">Diffusionsgleichung</a> entsprechende Operator ist</li></ul>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta -{\frac {\partial }{\partial t}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d34112d74143ca2dc7e1b60a317434450325d4d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.417ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta -{\frac {\partial }{\partial t}}.}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>Dies ist ein Beispiel eines parabolischen Differentialoperators.</dd></dl>

<ul><li>Der <a href="D%E2%80%99Alembert-Operator" title="D’Alembert-Operator">D’Alembert-Operator</a></li></ul>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Box \varphi (x,y,z,t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}(x,y,z,t)-\Delta _{(x,y,z)}\varphi (x,y,z,t),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f315d13dafc1426a2d64de03146e9c9ae3b16d26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:53.946ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \Box \varphi (x,y,z,t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}(x,y,z,t)-\Delta _{(x,y,z)}\varphi (x,y,z,t),}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> einer Geschwindigkeit entspricht, ist ein weiterer wichtiger partieller Differentialoperator. Dieser ist ein <a href="Hyperbolischer_Differentialoperator" class="mw-redirect" title="Hyperbolischer Differentialoperator">hyperbolischer Operator</a> und wird bei der <a href="Wellengleichung" title="Wellengleichung">Wellengleichung</a> verwendet.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Partieller_Differentialoperator">Partieller Differentialoperator</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_4">Definition</h3></div>

Ein (nicht linearer) partieller Differentialoperator der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> ist ebenfalls wieder eine Abbildung

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d1499eebaecc12ccb27a1899b83b93bf50ee86f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.461ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M).}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese ist gegeben durch

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(f)(x):=\sum _{i}\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha i}(x)\left({\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right)^{i}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39c265b40eb61321399b33cc828427e5fefaf10a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:39.122ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle D(f)(x):=\sum _{i}\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha i}(x)\left({\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right)^{i}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Hier sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{\alpha i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{\alpha i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fa58b9c2ffeff6a8813080d1c6357f3643a6e04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.081ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{\alpha i}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/310828fd2296815670d220826d562bb6ba6f5f42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.225ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> stetige Funktionen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lineare_Differentialoperatoren"> Lineare Differentialoperatoren</h2></div>

In den obigen Definitionen wurde schon kurz erwähnt, wann ein gewöhnlicher beziehungsweise ein partieller Differentialoperator linear genannt wird. Der Vollständigkeit halber wird nun die abstrakte Definition eines linearen Differentialoperators genannt. Diese ist analog zur Definition der <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">linearen Abbildung</a>. Alle oben angeführten Beispiele, soweit nichts anderes dabei steht, sind lineare Differentialoperatoren.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_5">Definition</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> ein (beliebiger) Differentialoperator. Dieser heißt linear, falls

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {D}\,(f+g)=({D}f)+({D}g)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e785500be63a7677656baf3fc7069240af07c244.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.156ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {D}\,(f+g)=({D}f)+({D}g)}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {D}\,(cf)=c\,({D}f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34ce4b2bf0b8fd68211197ccaeb4847735a57124.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {D}\,(cf)=c\,({D}f)}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\in C^{1}(M)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\in C^{1}(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d36bb16fb67e972b6ce1eb5c442536ab46f0eb79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.373ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f,g\in C^{1}(M)}" loading="lazy"> und alle Konstanten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> gilt.

Prominentestes Beispiel hierfür ist der Differentialoperator

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f',}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/adf93e75c6f94bebda6200d15106cad7442e4cdf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.037ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f',}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

der einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ihre Ableitung zuordnet.

Der Lösungsraum einer linearen Differentialgleichung bildet einen <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a>. Nach <a href="Fouriertransformation" class="mw-redirect" title="Fouriertransformation">Fouriertransformation</a> lässt sie sich häufig auf eine <a href="Algebraische_Gleichung" title="Algebraische Gleichung">algebraische Gleichung</a> und Konzepte der <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</a> zurückführen. Nichtlineare Differentialoperatoren sind wesentlich schwieriger zu behandeln.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algebra_der_Differentialoperatoren">Algebra der Differentialoperatoren</h3></div>

Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Diff} ^{k}(C^{\infty }(M))}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Diff} ^{k}(C^{\infty }(M))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce86d5dad67a6bb5ee2af6d03eaec579339d2613.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.669ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Diff} ^{k}(C^{\infty }(M))}" loading="lazy"> wird die Menge aller linearen Differentialoperatoren der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> bezeichnet, die auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{\infty }(M)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{\infty }(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48b543485314a4426ee2ff956f206cfd802d68d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.925ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C^{\infty }(M)}" loading="lazy"> operieren. Die Menge

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Diff} (C^{\infty }(M)):=\bigoplus _{k\geq 0}\operatorname {Diff} ^{k}(C^{\infty }(M))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dfb6d6d6e6fea035ec94d6063aa9b4fad3cfb51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:35.892ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Diff} (C^{\infty }(M)):=\bigoplus _{k\geq 0}\operatorname {Diff} ^{k}(C^{\infty }(M))}" loading="lazy"></dd></dl>

wird zusammen mit der Hintereinanderschaltung von linearen Differentialoperatoren als Multiplikation

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2})(f)=\mathrm {D} _{1}(\mathrm {D} _{2}(f))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e90de4064c336ae5902583a59201ed3340361125.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.407ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2})(f)=\mathrm {D} _{1}(\mathrm {D} _{2}(f))}" loading="lazy"></dd></dl>

zu einer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16cea652d9aba69b6accb9af09548981c2b4e24f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.061ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}" loading="lazy">-<a href="Graduierung_(Algebra)" title="Graduierung (Algebra)">graduierten Algebra</a>. Die Multiplikation ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ. Eine Ausnahme sind beispielsweise Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, bei denen die Kommutativität aus der <a href="Satz_von_Schwarz" title="Satz von Schwarz">Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen</a> folgt.

Man kann auch formal Potenzreihen mit den Differentialoperatoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> bilden und darüber z. B. Exponentialfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(D)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(D)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/303d4531a8c63bfa9e5730a296c07e2098a66895.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp(D)}" loading="lazy">. Für das Rechnen mit solchen Exponentialausdrücken von linearen Operatoren gelten die <a href="Baker-Campbell-Hausdorff-Formel" title="Baker-Campbell-Hausdorff-Formel">Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Differentialoperator_auf_einer_Mannigfaltigkeit"> Differentialoperator auf einer Mannigfaltigkeit</h2></div>

Da man auf Mannigfaltigkeiten nur die lokalen Koordinatensysteme in Form von Karten und keine global gültigen Koordinatensysteme zur Verfügung hat, muss man auf diesen Differentialoperatoren koordinatenunabhängig definieren. Solche Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten werden auch geometrische Differentialoperatoren genannt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Koordinaten-invariante_Definition">Koordinaten-invariante Definition</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> eine <a href="Glatte_Mannigfaltigkeit" class="mw-redirect" title="Glatte Mannigfaltigkeit">glatte Mannigfaltigkeit</a> und seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E,F\to M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E,F\to M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb56b38d84ce53ed872b255f1b10a9e5cfc124d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.607ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E,F\to M}" loading="lazy"> <a href="Vektorb%C3%BCndel" title="Vektorbündel">Vektorbündel</a>. Ein Differentialoperator der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> zwischen den <a href="Schnitt_(Faserb%C3%BCndel)" title="Schnitt (Faserbündel)">Schnitten</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> ist eine <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">lineare Abbildung</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93207988ca3acdbab6596d523855cdfa5b16e7dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.316ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}" loading="lazy"></dd></dl>

mit den folgenden Eigenschaften:

<ul><li>Der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> ist lokal, das heißt, es gilt</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {supp} (Ds)\subseteq \operatorname {supp} (s).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffc20a9897ca4419e30f2e380ef52558f57651c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.057ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {supp} (Ds)\subseteq \operatorname {supp} (s).}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9df57d73e9532bb93a1439890bcddbc2806f5859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in M}" loading="lazy"> existieren eine offene Umgebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a57ecb017c8458e5f519dbca5ddb7fffde7f1a16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.323ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq M}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, <a href="Atlas_(Mathematik)" title="Atlas (Mathematik)">Bündelkarten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \colon E|_{U}\to U\times \mathbb {C} ^{r}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \colon E|_{U}\to U\times \mathbb {C} ^{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e4a61a95124eb5f9c27ce7578ae4647acb6329.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.223ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \phi \colon E|_{U}\to U\times \mathbb {C} ^{r}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi \colon F|_{U}\to U\times \mathbb {C} ^{s}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi \colon F|_{U}\to U\times \mathbb {C} ^{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/259ea6c6f0fe1c0b07b5001760e2a07bf8af877f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.346ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi \colon F|_{U}\to U\times \mathbb {C} ^{s}}" loading="lazy"> sowie ein Differentialoperator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {D}}\in \operatorname {Diff} ^{k}(U,\mathbb {C} ^{r},\mathbb {C} ^{s}),}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {D}}\in \operatorname {Diff} ^{k}(U,\mathbb {C} ^{r},\mathbb {C} ^{s}),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/553392c31057cdc406da6d4469018bc9be9cdcb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.34ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {D}}\in \operatorname {Diff} ^{k}(U,\mathbb {C} ^{r},\mathbb {C} ^{s}),}" loading="lazy"> sodass das Diagramm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\Gamma _{0}^{\infty }(E\vert _{U})&{\xrightarrow {D}}&\Gamma _{0}^{\infty }(F\vert _{U})\\{\big \downarrow }\phi ^{*}&&{\big \downarrow }\psi ^{*}\\C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})&{\xrightarrow {\tilde {D}}}&C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{s})\end{array}}}">

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mpadded>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mpadded>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\Gamma _{0}^{\infty }(E\vert _{U})&{\xrightarrow {D}}&\Gamma _{0}^{\infty }(F\vert _{U})\\{\big \downarrow }\phi ^{*}&&{\big \downarrow }\psi ^{*}\\C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})&{\xrightarrow {\tilde {D}}}&C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{s})\end{array}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8b40c1f1598285183eb4090af537364915a62b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" style="vertical-align: -5.838ex; margin-top: -0.38ex; width:30.012ex; height:13.009ex;" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\Gamma _{0}^{\infty }(E\vert _{U})&\xrightarrow {D} &\Gamma _{0}^{\infty }(F\vert _{U})\\{\big \downarrow }\phi ^{*}&&{\big \downarrow }\psi ^{*}\\C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})&\xrightarrow {\tilde {D}} &C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{s})\end{array}}}" loading="lazy"> <a href="Kommutatives_Diagramm" title="Kommutatives Diagramm">kommutiert</a>. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a84bd45d960c6cb6ac361fca0bf84250794f0c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.44ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{*}}" loading="lazy"> ist der <a href="R%C3%BCcktransport" title="Rücktransport">Pullback</a> eines glatten Vektorfeldes in den Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/946a5e007e4879a98e3c61ad73e9366c24232890.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})}" loading="lazy"> bezeichnet.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_3">Beispiele</h3></div>

Im Folgenden werden Beispiele von geometrischen Differentialoperatoren aufgezeigt.

<ul><li>Die Menge der <a href="Differentialform" title="Differentialform">Differentialformen</a> bildet ein glattes Vektorbündel über einer glatten Mannigfaltigkeit. Die <a href="Cartan-Ableitung" class="mw-redirect" title="Cartan-Ableitung">Cartan-Ableitung</a> und ihr <a href="Adjungierter_Operator" title="Adjungierter Operator">adjungierter Operator</a> sind Differentialoperatoren auf diesem Vektorbündel.</li>

<li>Der <a href="Laplace-Beltrami-Operator" class="mw-redirect" title="Laplace-Beltrami-Operator">Laplace-Beltrami-Operator</a> sowie andere <a href="Verallgemeinerter_Laplace-Operator" title="Verallgemeinerter Laplace-Operator">verallgemeinerte Laplace-Operatoren</a> sind Differentialoperatoren.</li>

<li>Das <a href="Tensorb%C3%BCndel" class="mw-redirect" title="Tensorbündel">Tensorbündel</a> ist ein Vektorbündel. Für jedes fest gewählte Vektorfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist die Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla _{X}\colon \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{X}\colon \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/498c35f46a7a1dca01104d7010652399e4b0ca61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:28.993ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{X}\colon \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)}" loading="lazy"> definiert durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\mapsto \nabla _{X}T}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\mapsto \nabla _{X}T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20af0e721639590d7b7e619dbeb56f2473aa23ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.455ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T\mapsto \nabla _{X}T}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla }" loading="lazy"> die <a href="Kovariante_Ableitung" class="mw-redirect" title="Kovariante Ableitung">kovariante Ableitung</a> ist, ein Differentialoperator.</li>

<li>Die <a href="Lie-Ableitung" title="Lie-Ableitung">Lie-Ableitung</a> ist ein Differentialoperator auf den Differentialformen.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Symbol_eines_Differentialoperators">Symbol eines Differentialoperators</h2></div>

Die in den Beispielen angegebenen Differentialoperatoren 2. Ordnung entsprechen, wenn man die partiellen Ableitungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b6be63a3ddb914c608027404afea96933df7c79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.034ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \partial _{i}}" loading="lazy"> formal durch Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}" loading="lazy"> ersetzt und nur die Terme höchster – also zweiter – Ordnung betrachtet, einer <a href="Quadratische_Form" title="Quadratische Form">quadratischen Form</a> in den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}" loading="lazy">. Im elliptischen Fall haben alle Koeffizienten der Form dasselbe <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a>, im hyperbolischen Fall wechselt das Vorzeichen, im parabolischen Fall fehlt für eines der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}" loading="lazy"> der Term höchster Ordnung. Die entsprechenden <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a> zeigen jeweils sehr unterschiedliches Verhalten. Die Namen kommen von den Analoga zu <a href="Kegelschnitt" title="Kegelschnitt">Kegelschnittgleichungen</a>.

Das lässt sich durch den Begriff des Hauptsymbols des Differentialoperators auch auf andere Fälle erweitern. Man behält nur Terme der höchsten Ordnung bei, ersetzt Ableitungen durch neue Variable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}" loading="lazy"> und erhält ein Polynom in diesen neuen Variablen, mit dem man den Differentialoperator charakterisieren kann. Beispielsweise ist er vom elliptischen Typ, wenn gilt: das Hauptsymbol ist ungleich Null, wenn mindestens ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}" loading="lazy"> ungleich Null ist. Es gibt aber schon bei Differentialoperatoren 2. Ordnung „gemischte“ Fälle, die keiner der drei Klassen zuzuordnen sind.

Die folgenden Definitionen halten dies nochmal in mathematischer Präzision fest.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symbol">Symbol</h3></div>

Es sei

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(u)(x)=\sum _{|\alpha |\leq m}b_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}u(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/808346da4cd329c9fc683445cc95a20fb4f3c60b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:30.854ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle P(u)(x)=\sum _{|\alpha |\leq m}b_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}u(x)}" loading="lazy"></dd></dl>

ein allgemeiner Differentialoperator der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">. Die Koeffizientenfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{\alpha }\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{\alpha }\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e28f8fb0e5f2003f122ce81ce47797b3b2fc5a88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.501ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b_{\alpha }\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> kann matrixwertig sein. Das <a href="Polynom" title="Polynom">Polynom</a>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}b_{\alpha }(x)\left(i\xi \right)^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eda3a6d5fbbd9149782e9a39cb1df05c7bff0dcb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; margin-left: -0.089ex; width:24.982ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}b_{\alpha }(x)\left(i\xi \right)^{\alpha }}" loading="lazy"></dd></dl>

in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8a718e9c68da4acb51d12eb9d9474bd5aed8256.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.767ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> heißt das Symbol von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">. Da jedoch wie in der Einleitung schon angedeutet, die wichtigsten Informationen im Term der höchsten Ordnung zu finden sind, wird meist mit der folgenden Definition des Hauptsymbols gearbeitet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hauptsymbol">Hauptsymbol</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> wieder der oben definierte Differentialoperator der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">. Das homogene Polynom

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}b_{\alpha }(x)\left(i\xi \right)^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee69b0f2da120cdf6e23aa9e5d31bde9208f27af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; margin-left: -0.089ex; width:26.657ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle p_{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}b_{\alpha }(x)\left(i\xi \right)^{\alpha }}" loading="lazy"></dd></dl>

in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8a718e9c68da4acb51d12eb9d9474bd5aed8256.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.767ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> heißt Hauptsymbol von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">. Oft nennt man das Hauptsymbol auch einfach nur Symbol, wenn Verwechslungen mit der oben gegebenen Definition ausgeschlossen sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_4">Beispiele</h3></div>

<ul><li>Das Symbol und das Hauptsymbol des <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operators</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"> lauten</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}-\xi _{i}^{2}=-|\xi |^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ff33d7ec06b3fe349b169f0a7fed7f3dc5be5cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.57ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}-\xi _{i}^{2}=-|\xi |^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hauptsymbol_eines_Differentialoperators_zwischen_Vektorbündeln">Hauptsymbol eines Differentialoperators zwischen Vektorbündeln</h3></div>

Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten kann man auch ein Symbol und ein Hauptsymbol zuordnen. Dabei muss in der Definition natürlich berücksichtigt werden, dass das Hauptsymbol und das Symbol unter Kartenwechsel invariant definiert ist. Da der Kartenwechsel bei Symbolen sehr kompliziert ist, beschränkt man sich meist auf die Definition des Hauptsymbols.

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93207988ca3acdbab6596d523855cdfa5b16e7dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.316ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}" loading="lazy"> ein (koordinaten-invarianter) Differentialoperator, der zwischen Schnitten von Vektorbündeln operiert. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\in M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35ad2c18a15749505c928763cd4fdb56f4982816.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.542ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p\in M}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi \in T_{p}^{*}M}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi \in T_{p}^{*}M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0af2aa28277393bd079c3174c5155f539ed7d771.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.087ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi \in T_{p}^{*}M}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in E_{p}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in E_{p}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27a0433a7780098a0e87423be93b053f838f514d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.699ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e\in E_{p}}" loading="lazy">. Wähle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72d6adbf013ee80d5899f11d3e4c3df1252b022e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.044ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\in \Gamma _{c}^{\infty }(M,E)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\in \Gamma _{c}^{\infty }(M,E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fcd692a7c4ee0280d50434081de70ec4005cbe8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.32ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s\in \Gamma _{c}^{\infty }(M,E)}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(p)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(p)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6504538925d849b791ec1a63025588d951d6a3a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(p)=0}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \mathrm {d} f_{p}=\xi }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \mathrm {d} f_{p}=\xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ca413b77bf90124aa905555252dfa0319d5f4ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.619ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \mathrm {d} f_{p}=\xi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s(p)=e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s(p)=e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97a8c307bfb847409c89c80e8bbd27d777604057.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.251ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s(p)=e}" loading="lazy">. Dann ist der Ausdruck

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{D}^{k}(p,\xi )e:={\frac {i^{k}}{k!}}D(f^{k}s)(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6599d7f41f231c021837320cf942ee3881944490.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:25.731ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{D}^{k}(p,\xi )e:={\frac {i^{k}}{k!}}D(f^{k}s)(p)}" loading="lazy"></dd></dl>

unabhängig von der Wahl von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">.

Die Funktion

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{D}^{k}(p,\xi )\in \operatorname {Hom} (E_{p},F_{p})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/018cc9673bc2961d22e40b630bc97cb633f601c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.816ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{D}^{k}(p,\xi )\in \operatorname {Hom} (E_{p},F_{p})}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt dann das Hauptsymbol von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bidifferentialoperator">Bidifferentialoperator</h2></div>

Einen Differentialoperator, der auf zwei Funktionen wirkt,

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\times C^{k}(M)\to C^{0}(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2664f6a947d87911d31d398a798d617ab22df2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.792ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\times C^{k}(M)\to C^{0}(M)}" loading="lazy"></dd></dl>

nennt man auch Bidifferentialoperator.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Pseudo-Differentialoperatoren">Pseudo-Differentialoperatoren</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Pseudo-Differentialoperator" class="mw-redirect" title="Pseudo-Differentialoperator">Pseudo-Differentialoperator</a></div>

Die Ordnung eines Differentialoperators ist immer ganzzahlig und positiv. In der Theorie der Pseudo-Differentialoperatoren wird dies verallgemeinert. Lineare Differentialoperatoren der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> mit glatten und beschränkten Koeffizienten können als Pseudo-Differentialoperatoren der gleichen Ordnung verstanden werden. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\colon C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\colon C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cf1bb1166a021b1d2f924e2295c13369b316005.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.477ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle D\colon C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"> ein solcher Differentialoperator, dann kann man auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Df}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Df}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/683279b8feba655b049a1c55f4bd9026218fcdb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.203ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Df}" loading="lazy"> die <a href="Kontinuierliche_Fourier-Transformation" class="mw-redirect" title="Kontinuierliche Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.927ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}}" loading="lazy"> und danach die inverse Fourier-Transformation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/798153399d91ed4f7c88fa012bd0fabe708c4de2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.336ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}" loading="lazy"> anwenden. Das heißt, es gilt

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Du)(x)=({\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}Du)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\mathrm {i} (x-y)\xi }D(\xi )u(y)\mathrm {d} y\mathrm {d} \xi .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88bac3c49c64d31d46ba2510a17329527ab4f645.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:65.028ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle (Du)(x)=({\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}Du)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\mathrm {i} (x-y)\xi }D(\xi )u(y)\mathrm {d} y\mathrm {d} \xi .}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies ist ein Spezialfall eines Pseudo-Differentialoperators

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Pu)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\mathrm {i} (x-y)\xi }a(x,y,\xi )u(y)\mathrm {d} y\mathrm {d} \xi .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7e6ff1e74d1a66d17c0779467eb518dd01d9707.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:51.145ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle (Pu)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\mathrm {i} (x-y)\xi }a(x,y,\xi )u(y)\mathrm {d} y\mathrm {d} \xi .}" loading="lazy"></dd></dl>

Hieran sieht man auch, dass gewisse Differentialoperatoren als <a href="Integraloperator" title="Integraloperator">Integraloperatoren</a> dargestellt werden können und somit Differentialoperatoren und Integraloperatoren nicht ganz gegensätzlich sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Otto_Forster" title="Otto Forster">Otto Forster</a>: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl., 2006, ISBN 3-528-47231-6.</li>

<li><a href="Konrad_K%C3%B6nigsberger" title="Konrad Königsberger">Konrad Königsberger</a>: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000, ISBN 3-540-43580-8.</li>

<li><a href="Dirk_Werner_(Mathematiker)" title="Dirk Werner (Mathematiker)">Dirk Werner</a>: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.</li>

<li><a href="Lawrence_C._Evans" title="Lawrence C. Evans">Lawrence Evans</a>: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.</li>

<li>Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. World Scientific Pub Co (für Differentialoperatoren zwischen Vektorbündeln).</li></ul>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4012251-7">4012251-7</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>